Пупурс родился 5 марта 1964 года в Риге, закончил Рижскую 66-ю среднюю школу. С 1983 по 1986 год учился в Московском историко-архивном институте, затем в Латвийском университете на историко-философском факультете. В 1988 году его выслали из СССР.
В 1992 году возобновил учебу в ЛУ, а в 1999 году получил степень бакалавра в Массачусетском университете (Бостон, США). В 2003 году получил степень магистра в Лондонской высшей школе экономики и политических наук.
Пупурс был политологом и языковедом, являлся членом Латвийского союза офицеров, с 1987 года активно участвовал в деятельности Клуба защиты природы. 14 июня 1987 года вместе с участниками группы Helsinki-86 принял участие в первой антисоветской демонстрации возле памятника Свободы. Во время демонстрации он поднял латвийский флаг и пронес его через Ригу. После этого он официально вошел в группу Helsinki-86.
Пупурс являлся действующим лейтенантом армии США и принимал участие в войне в Ираке. В 2010 году Константин Пупурс вернулся в Латвию и вступил в Национальное объединение Visu Latvijai!-Tēvzemei un brīvībai/LNNK, а также выставлял свою кандидатуру на выборах в 10-й Сейм. Также он входил в правление партии.