В 2018 году появилась информация, что у Клюева диагностировали рак легких, однако позднее он эту информацию опроверг. В 2019 году Клюев признался, что страдает от онкологического заболевания. По его словам, болезнь не мешала ему играть в театре и сниматься в кино.
Клюев наиболее известен по роли Николая Петровича в ситкоме "Воронины", адаптации американской комедии "Все любят Рэймонда".
Российский сериал выходил с 2009 по 2019 год, за это время он успел войти в Книгу рекордов Гиннесса как самый продолжительный адаптированный телевизионный проект в мире. Ситком повествует о приключениях обычной семьи. Помимо Клюева главные роли исполнили Георгий Дронов, Екатерина Волкова, Станислав Дужников и Анна Фроловцева.
Борис Клюев родился в Москве в июле 1944 года, после окончания школы поступил в Театральное училище имени Щепкина, из которого выпустился в 1969-м. Тогда же он стал выступать в Малом театре. За свою театральную карьеру Клюев исполнил более семидесяти ролей.
Параллельно театру артист снимался в кино — первой его крупной ролью стал министр Временного правительства Василий Шульгин в фильме "Крушение империи". Известность Клюеву принесла роль Рошфора в трехсерийном музыкальном фильме "Д'Артаньян и три мушкетера". В 1980-х Клюев исполнил еще несколько громких ролей — Майкрофта Холмса в картинах серии "Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона" и шпиона Трианона в многосерийной ленте "ТАСС уполномочен заявить…"
С наступлением 1990-х Клюев начал играть преимущественно генералов и начальников силовых структур в телевизионных сериалах. Он появился, в частности, в "Убойной силе", "Улицах разбитых фонарей", "Физруке", "Защите Красина" и "На углу у Патриарших". Последним игровым проектом с участием артиста (помимо финального сезона "Ворониных") стал сериал "Годунов".