Багдонас является по специальности энергетиком. Он окончил Каунасский технологический университет. В 1994 Багдонас участвовал в миротворческой миссии ООН в Хорватии, а затем работал военным атташе в Латвии и Эстонии. Он закончил военный колледж НАТО в Риме, а затем обучался на курсах разведки и борьбы с терроризмом в США, Великобритании и Германии.
Имя Багдонаса связано с первым в истории Европы импичментом президента. Осенью 2003 года тогдашний глава государства Роландас Паксас выдвинул кандидатуру Багдонаса на пост главы Департамента госбезопасности. После этого руководитель литовских спецслужб обвинил президента в нарушении конституции и коррупции.
Конституционный суд Литвы признал, что Паксас нарушил основной закон страны, предоставив ее гражданство бизнесмену Юрию Борисову, который на выборах оказывал ему финансовую поддержку. В результате литовский парламент отправил Паксаса в отставку.